Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên. Cùng tìm hiểu về tính chất, cách nhận biết và các phép tính của số chính phương trong bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về loại số này nhé.

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Hay hiểu đơn giản, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.

Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (-1, -2, -3,…) và số 0. Tập các số nguyên được ký hiệu là Z.

Tuy nhiên, căn bậc hai của một số chính phương lại chỉ có giá trị là một số tự nhiên, tức là các số nguyên dương.

Ví dụ:

Số 4 là số chính phương vì bình phương của số 2 là 4.

9 là số chính phương, (vì 9 bằng bình phương của 3).

Cách nhận biết số chính phương

1. Nhìn vào chữ số cuối cùng: Tận cùng của số chính phương là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Trường hợp các số có tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì không được gọi là số chính phương.

2. Nhìn vào chữ số cuối cùng:Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).

Ví dụ: Giả sử n = 1 thì số chính phương ở dạng 4 x n = 4. Hoặc n = 2 thì số chính phương ở dạng 4 x 2 + 1 = 9.

Không thể ở dạng 4 x 2 + 2 = 10 hoặc 4 x 2 + 3 = 11.

3. Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 81 (bình phương của 9).

4. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Ví dụ: Số chính phương 225 (bình phương của 15).

5. Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 64 (bình phương của 8).

6. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Ví dụ: Số chính phương 16 (bình phương của 4).

7. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Ví dụ: Số chính phương 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Tính chất chia hết của số chính phương

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng sẽ chia hết cho p^2, và ngược lại.

• Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 2^2 = 4.
• Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 3^2 = 9.
• Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 5^2 = 25.
• Số chính phương chia hết cho 8 (= 2^3) thì cũng chia hết cho 2^4 = 16 (viết dưới dạng lũy thừa của một số).
• Số chính phương 36 ( 6^2 ) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 ( 2^2 )
• Số chính phương 144 ( 12^2 ) chia hết cho 3 (144:3=48) => 144 chia hết cho 9 (144:9=16)

Số chính phương nhỏ nhất

Số chính phương nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương là số 0. Còn trong dãy số từ 0 đến 100 thì có có tất cả 10 số chính phương nhỏ hơn 100. Nó bao gồm số: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Số chính phương lớn nhất

• Số chính phương lớn nhất có 1 chữ số là số 9
• Số chính phương lớn nhất có 2 chữ số là số 81
• Số chính phương lớn nhất có 3 chữ số là 312
• Số chính phương lớn nhất có 4 chữ số là 9801
• Số chính phương lớn nhất có 5 chữ số là 99856

Hằng đẳng thức để tính hiệu của hai số chính phương

Ví dụ:

Đặc điểm của số chính phương

• Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
• Nếu số chính phương chia hết cho một số nguyên tố thì cũng sẽ chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó.

Ví dụ: Số chính phương 18 chia hết cho 3 thì cũng sẽ chia hết cho bình phương của 3 là 9.

Các dạng số chính phương

Có 2 dạng số chính phương:

Ví dụ của số chính phương

Các số 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … đều là số chính phương.

4 = 2² là một số chính phương chẵn.

9 = 3² là một số chính phương lẻ.

16 = 4² là một số chính phương chẵn.

25 = 5² là một số chính phương lẻ.

36 = 6² là một số chính phương chẵn.

49 = 7² là một số chính phương lẻ.

64 = 8² là một số chính phương chẵn.

81 = 9² là một số chính phương lẻ.

100 = 10² là một số chính phương chẵn.

Lưu ý: Số 0 và 1 cũng là số chính phương.

Bài tập về số chính phương

Bài 1: Trong dãy số sau, đâu là số chính phương: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Giải: Các số chính phương là 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Giải: Số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng số B = 4n^4 + 4n³ + n² là số chính phương với mọi số nguyên dương n.

Lời giải:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

Ta thấy, B có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai bình phương. Hoặc B = [n(2n+1)]², và n(2n + 1) là một số nguyên. Vậy nên kết luận B là một số chính phương.

Bài 4: 

Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: B = n² + 4n + 1.

Lời giải:

Vì số B là chính phương, ta đặt n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Nhận xét thấy 2n+4+2b 2n+4-2b, và đây đều những số nguyên dương. Vậy nên ta có thể tìm các cặp số tương ứng: (12, 1), (6, 2) và (4, 3). Bạn cần xét đến từng trường hợp để tìm ra n và b. Cụ thể:

• Trường hợp 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Trường hợp 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Trường hợp 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Nhưng n là số tự nhiên, nên chỉ có đáp án n = 0, b = 1 là thỏa mãn. Và n = 0, suy ra số chính phương B=1.

Hy vọng bài viết trên đã cung cấp những thông tin hữu ích giúp bạn biết được số chính phương là gì, số 0 có phải là số chính phương không cũng như các tính chất và đặc điểm của số chính phương. Từ đó, bạn sẽ có thêm kiến thức để giải quyết các bài toán, vấn đề về số chính phương.

Ngoài số chính phương, các bạn có thể tìm hiểu thêm một số loại số khác trong toán học như hỗn số, phân số...