Trọng tâm của tam giác là một trong những kiến thức rất quan trọng và phổ biến trong những năm học phổ thông. Bài viết dưới đây, Quantrimang.com xin giới thiệu với các bạn các kiến thức liên quan tới trọng tâm tam giác, công thức tính trọng tâm tam giác, công thức tính tọa độ trọng tam giác, mời các bạn tham khảo để ứng dụng vào giải các bài toán trong quá trình học tập nhé.
Trọng tâm là gì?
- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
- Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác.
G là trọng tâm của tam giác ABC.Tính chất của trọng tâm trong tam giác
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.
Tam giác MNP vuông tại M.
3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.
Trọng tâm tam giác cân
Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:
- Góc BAD bằng góc CAD.
- Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.
Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:
AB = AC.
=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.
Trọng tâm tam giác đều
Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Cách tìm trọng tâm tam giác
Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.
Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.
Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM.
Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.
Bài tập về trọng tâm tam giác
Dạng 1: Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác
Phương pháp giải
- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.
- Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Bước 1. Xác định trọng tâm nằm trên đường trung tuyến nào.
Bước 2. Sử dụng linh hoạt tỉ lệ khoảng cách từ trọng tâm đến hai đầu đoạn thẳng trung tuyến.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: 
.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC
Do đó ta phải chứng minh 
hay )
Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Vậy , (điều phải chứng minh).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD.
Chứng minh:
a) Ba điểm A, G, E thẳng hàng.
b) Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD
=> BC là trung tuyến của tam giác ABD.
Hơn nữa G ∈ BC và GB = 2GC
=> 
=> G là trọng tâm tam giác ABD.
Lại có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A, G, E thẳng hàng.
b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABD
=> DG là đường trung tuyến của tam giác này.
Suy ra DG đi qua trung điểm của cạnh AB (điều phải chứng minh).
Dạng 2: Chứng minh một điểm là trọng tâm tam giác
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trọng tâm. Chẳng hạn để chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC, có ba đường trung tuyến AD, BE, CF thì ta chứng minh:
Cách 1.
Hoặc 
Hoặc 
Cách 2.
Chứng minh G là giao điểm của hai trong ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AE = EG = GD. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có AD = AE + EG + GD mà AE = EG = GD nên AD = 3AE
Vì AD là đường trung tuyến và 
nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC.
a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC.
b) Tính các tỉ số 
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có BF = 2BE; BE = EF
Mà BE = 2ED nên EF = 2ED
=> D là trung điểm của EF
=> CD là đường trung tuyến của tam giác EFC.
Vì K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến của tam giác EFC.
Tam giác EFC có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác EFC.
b) Ta có G là trọng tâm tam giác EFC nên 
Dạng 3. Đường trung tuyến của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
Phương pháp giải
Chú ý đến tính chất của tam giác cân, tam giác đều và tam giác vuông.
Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.
Chứng minh:
a) AD = BE = CF.
b) GA = GB = GC.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có BE; CF là các đường trung tuyến của tam giác ABC
=> 
Vì AC = AB nên 
hay CE = BF.
Xét tam giác BCE và tam giác CBF có
BC chung; 
(do tam giác ABC cân ở A); CE = BF (chứng minh trên).
Do đó ∆BCE = ∆CBF (c.g.c)
=> BE = CF (2 cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta có AD = BE.
Từ đó suy ra AD = BE = CF (điều phải chứng minh).
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 
Vì AD = BE = CF (theo chứng minh câu a) nên 
hay GA = GB = GC (điều phải chứng minh)
Bài 1:
Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?
Giải:
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).
Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).
Vậy đoạn AI có độ dài 6 cm.
Bài 2:
Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Giải:
Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.
Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.
Ta có ∆MNP đều, suy ra:
MS = PR = NO (1).
Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Tọa độ của trọng tâm tam giác trong mặt phẳng Oxy
Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3).
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b, Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a, Ta có: 
=(-2; 4) và 
=(-1; 3)
Do 
nên 
không cùng phương, suy ra A, B, C không thẳng hàng.
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G (1; 
).
Ngoài khái niệm và các công thức về trọng tâm tam giác ở trên, các bạn có thể tìm hiểu thêm các kiến thức khác về tam giác như diện tích tam giác, chu vi tam giác, đường cao tam giác.
Source: https://quantrimang.com/cong-nghe/cong-thuc-tinh-trong-tam-cua-tam-giac-183481